Разлика между аритметичната последователност и геометричната последователност

Аритметична последователност срещу геометрична последователност
 

Изучаването на модели на числа и тяхното поведение е важно изследване в областта на математиката. Често тези модели могат да се видят в природата и ни помага да обясним тяхното поведение в научна гледна точка. Аритметичните последователности и Геометричните последователности са два от основните модели, които се срещат в числа и често се срещат в природни явления.

Последователността е набор от подредени числа. Броят елементи в последователността може да бъде краен или безкраен.

Повече за аритметичната последователност (аритметрична прогресия)

Аритметичната последователност се дефинира като последователност от числа с постоянна разлика между всеки пореден термин. Известен е още като аритметична прогресия.

Аритметична секвенция ⇒ a₁, а₂, а_3, а₄,..., a_н ; къде₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + г и т.н..

Ако първоначалният срок е a₁ и общата разлика е d, тогава n^тата терминът на последователността е даден от;

а_н = a₁ + (П-1) г

Като вземете горния резултат допълнително, n^тата терминът може да бъде даден и като;

а_н = a_m + (П-т) г, къде_m е произволен термин в последователността, така че n> m.

Наборът от четни числа и множеството нечетни числа са най-простите примери на аритметични последователности, където всяка последователност има обща разлика (d) от 2.

Броят на термините в една последователност може да бъде безкраен или краен. В безкрайния случай (n → ∞) последователността клони към безкрайност в зависимост от общата разлика (a_н → ± ∞). Ако общата разлика е положителна (d> 0), последователността клони към положителна безкрайност и, ако общата разлика е отрицателна (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Сумата от термините в аритметичната последователност е известна като аритметичната серия: S_н= a₁ + а₂ + а₃ + а₄ + ⋯ + a_н = ∑_{I = 1 → п} а_аз; и S_н = (n / 2) (a₁ + а_н) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] дава стойността на серията (S_н).

Повече за Геометричната последователност (Геометрична прогресия)

Геометричната последователност се определя като последователност, в която коефициентът на всеки два последователни термина е константа. Това е известно още като геометрична прогресия.

Геометрична последователност ⇒ a₁, а₂, а₃, а₄,..., a_н; къде₂/ а₁ = r, a₃/ а₂ = r и т.н., където r е реално число.

По-лесно е да се представи геометричната последователност, като се използва общото съотношение (r) и началния член (a). Следователно геометричната последователност ⇒ a₁, а₁r, a₁R², а₁R³,..., a₁R^N-1.

Общата форма на n^тата условия, дадени от a_н = a₁R^N-1. (Загуба на индекс на първоначалния срок ⇒ a_н = ар^N-1)

Геометричната последователност също може да бъде крайна или безкрайна. Ако броят на термините е краен, се казва, че последователността е крайна. И ако термините са безкрайни, последователността може да бъде безкрайна или ограничена в зависимост от съотношението r. Общото съотношение засяга много от свойствата в геометрични последователности. 

r> o	0 < r < +1	Последователността се сближава - експоненциален разпад, т.е.н → 0, n → ∞
	r = 1	Постоянна последователност, т.е.н = константа
	r> 1	Последователността се разминава - експоненциален растеж, т.е.н → ∞, n → ∞
R < 0	-1 < r < 0	Последователността е колебателна, но се сближава
	r = 1	Последователността е редуваща се и постоянна, т.е.н = ± константа
	R < -1	Последователността се редува и се разминава. т.е.н → ± ∞, n → ∞
r = 0	Последователността е низ от нули

N.B: Във всички случаи по-горе, a₁ > 0; ако₁ < 0, the signs related to a_н ще се обърне.

Интервалът от време между отскоците на топката следва геометрична последователност в идеалния модел и е конвергентна последователност.

Сумата от термините на геометричната последователност е известна като геометрична серия; С_н = ar + ar² + ар³ + ⋯ + ар^н = ∑_{I = 1 → п} ар^аз. Сумата от геометричните серии може да бъде изчислена по следната формула.

С_н = a (1-r^н ) / (1-с); където a е началният член и r е съотношението.

Ако съотношението, r ≤ 1, серията се сближава. За безкрайни серии стойността на конвергенцията се дава от S_н = a / (1-r) 

Каква е разликата между аритметичната и геометричната последователност / прогресия?

• В аритметична последователност, всеки два последователни термина имат обща разлика (d), докато в геометрична последователност, всеки два последователни члена имат постоянен коефициент (r).

• В аритметична последователност, изменението на термините е линейно, т.е. може да се начертае права линия, преминаваща през всички точки. В геометрична серия вариацията е експоненциална; или растеж, или разпад на базата на общото съотношение.

• Всички безкрайни аритметични последователности са различни, докато безкрайните геометрични серии могат да бъдат или разнопосочни, или конвергентни.

• Геометричната серия може да показва трептения, ако съотношението r е отрицателно, докато аритметичната серия не показва трептения