Разлика между линейни и нелинейни диференциални уравнения

Линейни срещу нелинейни диференциални уравнения
 

Уравнение, съдържащо поне един диференциален коефициент или производно на неизвестна променлива, е известно като диференциално уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде линейно или нелинейно. Обхватът на тази статия е да обясни какво е линейно диференциално уравнение, какво е нелинейно диференциално уравнение и каква е разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения.

От развитието на смятането през 18 век от математици като Нютон и Лайбниц, диференциалното уравнение играе важна роля в историята на математиката. Диференциалните уравнения имат голямо значение в математиката поради обхвата им на приложение. Диференциалните уравнения са в основата на всеки модел, който разработваме, за да обясним всеки сценарий или събитие в света, независимо дали е във физиката, инженерството, химията, статистиката, финансовия анализ или биологията (списъкът е безкраен). Всъщност, докато смятането не се превърна в утвърдена теория, не бяха налични подходящи математически инструменти за анализиране на интересните проблеми в природата.

Резултатните уравнения от конкретно приложение на смятане могат да бъдат много сложни и понякога неразрешими. Има обаче такива, които можем да разрешим, но може да изглеждат еднакво и объркващо. Следователно, за по-лесно идентифициране диференциалните уравнения се категоризират по математическото им поведение. Линейната и нелинейната е една такава категоризация. Важно е да се идентифицира разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения.

Какво е линейно диференциално уравнение?

Предполага че f: X → Y и f (x) = y, a диференциално уравнение без нелинейни термини на неизвестната функция ш и неговите производни са известни като линейно диференциално уравнение.

Той налага условието, че y не може да има изрази с по-висок индекс като y², ш³,… И множество производни като 

Той също не може да съдържа нелинейни термини като Sin ш, д^{ш^ -2}, или ln ш. Приема формата, 

където ш и г са функции на х. Уравнението е диференциално уравнение на ред н, което е индексът на производно от най-висок ред.

В линейно диференциално уравнение диференциалният оператор е линеен оператор и решенията образуват векторно пространство. В резултат на линейния характер на набора от решения, линейната комбинация от решения също е решение на диференциалното уравнение. Тоест, ако ш₁ и ш₂ са решения на диференциалното уравнение, тогава ° С₁ ш₁+ ° С₂ ш₂ също е решение.

Линейността на уравнението е само един параметър на класификацията и по-нататък може да бъде категоризирана в хомогенни или нехомогенни и обикновени или частични диференциални уравнения. Ако функцията е г= 0, тогава уравнението е линейно хомогенно диференциално уравнение. ако е е функция на две или повече независими променливи (f: X, T → Y) и е (х, у) = Y , тогава уравнението е линейно частично диференциално уравнение.

Методът на решение за диференциалното уравнение зависи от типа и коефициентите на диференциалното уравнение. Най-лесният случай възниква, когато коефициентите са постоянни. Класически пример за този случай е вторият закон за движението на Нютон и различните му приложения. Вторият закон на Нютон произвежда линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.

Какво е нелинейно диференциално уравнение?

Уравненията, които съдържат нелинейни термини, са известни като нелинейни диференциални уравнения.

 

Всички по-горе са нелинейни диференциални уравнения. Нелинейните диференциални уравнения са трудни за разрешаване, поради което е необходимо внимателно проучване, за да се получи правилно решение. В случай на частични диференциални уравнения, повечето уравнения нямат общо решение. Следователно всяко уравнение трябва да се третира независимо.

Уравнението на Навие-Стокс и уравнението на Ойлер в динамиката на флуида, полевите уравнения на Айнщайн с обща относителност са добре известни нелинейни диференциални диференциални уравнения. Понякога прилагането на уравнението на Лагранж към променлива система може да доведе до система от нелинейни частични диференциални уравнения.

Каква е разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения?

• Диференциално уравнение, което има само линейни термини на неизвестната или зависима променлива и нейните производни, е известно като линейно диференциално уравнение. Той няма термин с зависимата променлива на индекса по-висок от 1 и не съдържа кратно на неговите производни. Той не може да има нелинейни функции като тригонометрични функции, експоненциална функция и логаритмични функции по отношение на зависимата променлива. Всяко диференциално уравнение, което съдържа гореспоменатите термини, е нелинейно диференциално уравнение.

• Решенията на линейни диференциални уравнения създават векторно пространство, а диференциалният оператор също е линеен оператор във векторно пространство.

• Решенията на линейни диференциални уравнения са сравнително по-лесни и съществуват общи решения. За нелинейните уравнения в повечето случаи общото решение не съществува и решението може да е специфично за проблема. Това прави решението много по-трудно от линейните уравнения.