Разлика между ортогонални и ортонормални

Ортогонални срещу ортонормални

В математиката двете думи ортогонална и ортонормална често се използват заедно с набор от вектори. Тук терминът "вектор" се използва в смисъл, че е елемент от векторно пространство - алгебраична структура, използвана в линейна алгебра. За нашата дискусия ще разгледаме вътрешно-продуктово пространство - векторно пространство V заедно с вътрешен продукт [] определено на V.

Като пример, за вътрешен продукт, пространството е множеството от всички триизмерни вектори на позицията заедно с обичайния точков продукт.

Какво е ортогонално?

Непусто подмножество С на вътрешно продуктово пространство V се казва, че е ортогонален, ако и само ако за всеки отчетлив u, v в С, [u, v] = 0; т.е. вътрешния продукт на ф и V е равно на нулевия скалар във вътрешното пространство на продукта.

Например в набора от всички триизмерни вектори на позицията това е еквивалентно на това, че за всеки отделен чифт позиционни вектори р и р в S, р и р са перпендикулярни един на друг. (Не забравяйте, че вътрешният продукт в това векторно пространство е точков продукт. Също така, точков продукт от два вектора е равен на 0, ако и само ако двата вектора са перпендикулярни един на друг.)

Обмислете комплекта С = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), което е подмножество на векторите за триизмерна позиция. Забележете, че (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Следователно, множеството С е ортогонален. По-специално се казва, че два вектора са ортогонални, ако вътрешният им продукт е 0. Следователно, всяка двойка вектори в Се ортогонален.

Какво е ортонормално?

Непусто подмножество С на вътрешно продуктово пространство V се казва, че е ортонормално, ако и само ако С е ортогонален и за всеки вектор ф в С, [u, u] = 1. Следователно може да се види, че всеки ортонормален набор е ортогонален, но не и обратното.

Например в набора от всички триизмерни вектори на позицията това е еквивалентно на това, че за всеки отделен чифт позиционни вектори р и р в С, р и р са перпендикулярни един на друг и за всеки р в С, | Р | = 1. Това е така, защото състоянието [p, p] = 1 се свежда до p.p = | р || р |cos0 = | Р |²= 1, което е еквивалентно на | Р | = 1. Следователно, като имаме ортогонален набор, винаги можем да образуваме съответно ортонормално множество, като делим всеки вектор по неговата величина.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) е ортонормално подмножество от множеството на всички триизмерни вектори на позицията. Лесно е да се види, че е получена чрез разделяне на всеки от векторите в комплекта С, от техните величини.

Каква е разликата между ортогонални и ортонормални?

• Непусто подмножество С на вътрешно продуктово пространство V се казва, че е ортогонален, ако и само ако за всеки отделен u, v в С, [u, v] = 0. Въпреки това, това е ортонормално, ако и само ако допълнително условие - за всеки вектор ф в С, [u, u] = 1 е удовлетворен.
• Всеки ортонормален набор е ортогонален, но не и обратното.
• Всеки ортогонален набор съответства на уникален ортонормален набор, но ортонормален набор може да съответства на много ортогонални множества.