Разлика между Power Series и Taylor Series

Power Series срещу Taylor Series

В математиката реалната последователност е подреден списък от реални числа. Формално това е функция от множеството естествени числа до множеството реални числа. ако а_не n^тата термин на последователност, обозначаваме последователността от или чрез а₁, а₂,..., a_н,… .За пример, помислете за последователността 1, ½, ⅓,… , ¹/_н,…. Може да се обозначи като 1 / n.

Възможно е да се определи серия, като се използват последователности. Серия е сумата от термините на една последователност. Следователно, за всяка последователност има свързана последователност и обратно. Ако_н е разглежданата последователност, тогава сериите, образувани от тази последователност, могат да бъдат представени като:                                           

 По този начин в горния пример свързаната серия е 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_н +... . 

Както подсказват имената, силовата серия е специален тип серии и се използва широко в числовия анализ и свързаното с тях математическо моделиране. Taylor серията е специална серия за захранване, която осигурява алтернативен и лесен за манипулиране начин за представяне на добре познати функции.

Какво е Power серия?

Силова серия е поредица от формата

    

което е конвергентно (възможно) за някакъв интервал с център ° С. Коефициентите а_н може да бъде реално или сложно число и е независимо от х; т.е.. фиктивната променлива.

Например чрез настройка а_н= 1 за всеки н, и ° С = 0, мощностната серия 1 + x + x²+… + X^н+… Се получава. Лесно е да се наблюдава, че когато x ε (-1,1), тази серия на мощност се сближава до 1 / (1-x).          

Мощност серия се сближава, когато х = ° С. Другите стойности на х за които серията на мощността се сближава винаги ще бъде под формата на отворен интервал, центриран в ° С. Това е, ще има стойност 0≤ R ≤ ∞ такива, че за всеки х удовлетворяващи | x-c | ≤R, силовата серия е конвергентна и за всеки х  удовлетворяващи | x-c |>R, силовата серия е различна. Тази стойност R се нарича радиус на конвергенция на силовите серии (R може да вземе всяка реална стойност или положителна безкрайност).

Мощностните серии могат да се добавят, изваждат, умножават и разделят, като се използват следните правила. Помислете за двете силови серии:       

   

                               .

Тогава,                 

т.е.. като термините се добавят или изваждат заедно. Също така е възможно да се умножат и разделят двете силови серии, използвайки идентичността,

Какво представлява серията Тейлър?

Taylor серията е определена за функция е(х), който е безкрайно различим на интервал. предполагам е(х) е диференцируем на интервал, центриран в ° С. Тогава силовата серия, която се дава от

                                                                                                                                

се нарича разширяване на функцията от серията Taylor е(х) относно ° С. (Тук е^(н)(° С) Обозначават n^тата производно при х = ° С). В Числен анализ, краен брой термини в това безкрайно разширение се използват за изчисляване на стойности в точки, където серията е конвергентна с първоначалната функция.

Функция е(х) се казва, че е аналитичен в интервала (а, б), ако за всеки x ε (a, b), серията Taylor от е(х) се преобразува към функцията е(х). Например, 1 / (1-x) е аналитичен за (-1,1), тъй като разширението му на Taylor 1 + x + x²+… + X^н+... се преобразува към функцията на този интервал и д^х  е аналитичен навсякъде, от серията Taylor на д^хсближава до д^х за всяко реално число х.

Каква е разликата между серията Power и серията Taylor?

1. Taylor серията е специален клас на силови серии, дефиниран само за функции, които са безкрайно различими в някакъв отворен интервал.

2. Taylor сериите приемат специалната форма

        

като има предвид, че силовата серия може да бъде всяка серия от формата