Разлика между интеграла на Риман и интеграла на Lebesgue

Риман Интеграл срещу Лебег Интеграл

Интеграцията е основна тема в смятането. В по-широк смисъл интеграцията може да се разглежда като обратен процес на диференциация. Когато моделирате проблеми в реалния свят, е лесно да пишете изрази, включващи производни. В такава ситуация е необходима операцията за интегриране, за да намери функцията, която даде конкретната производна.

От друг ъгъл интеграцията е процес, който обобщава произведението на функция ƒ (x) и δx, където δx има тенденция да бъде определена граница. Ето защо използваме символа за интегриране като ∫. Символът ∫ всъщност е това, което получаваме чрез разтягане на буквата s, за да се отнася до сумата.

Риман Интеграл

Помислете за функция y = ƒ (x). Интегралът на y между а и б, където а и б принадлежат към набор x, се записва като _б∫^аƒ (x) dx = [F(х)]_а→б = F(б) - F(а). Това се нарича определен интеграл от единичната стойност и непрекъснатата функция y = ƒ (x) между a и b. Това дава площта под кривата между а и б. Това също се нарича интеграл на Риман. Интегралът на Риман е създаден от Бернхард Риман. Интегралът на Риман в непрекъсната функция се основава на мярката на Йордан, следователно, той също се определя като граница на сумите на Риман на функцията. За действителна стойностна функция, дефинирана в затворен интервал, интегралът на Риман от функцията по отношение на дял x₁, х₂,… , х_н дефинирани на интервала [a, b] и t₁, T₂,… , T_н, където х_аз ≤ t_аз ≤ x_{I + 1} за всяко i ε 1, 2, ..., n, сумата на Риман се определя като Σ_{i = o до n-1} ƒ (т_аз)(х_{I + 1} - х_аз).

Lebesgue Integral

Lebesgue е друг вид интеграл, който обхваща голямо разнообразие от случаи, отколкото интегралът на Риман. Интегралът на lebesgue е въведен от Анри Лебег през 1902 г. Интеграцията на Legesgue може да се разглежда като обобщение на интеграцията на Риман.

Защо трябва да изучаваме друг интеграл?

Нека разгледаме характерната функция ƒ_{A (x) = 0 ако, х не е A}^{1 ако, x ε A} на множество A. След това ограничена линейна комбинация от характерни функции, която се определя като F(x) = Σ a_азƒE_аз(x) се нарича простата функция, ако E_аз е измерима за всеки i. Интегралът на Lebesgue на F(х) над E се обозначава с _E∫ ƒ (x) dx. Функцията F(x) не е интегрирана от Риман. Следователно интегралът на Lebesgue е префразирането на интеграла на Риман, което има някои ограничения върху функциите, които трябва да бъдат интегрирани.