Разлика между определените и неопределените интеграли

Изчислението е важен отрасъл на математиката и диференциацията играе критична роля в смятането. Обратният процес на диференциацията е известен като интеграция, а обратният е известен като интеграл, или просто казано, обратната на диференциация дава интеграл. Въз основа на резултатите, които произвеждат, интегралите се разделят на два класа, а именно: определени и неопределени интеграли.

Определен интеграл

Определеният интеграл на е (х) е НОМЕР и представлява областта под кривата е (х) от х = а да се х = б.

Определен интеграл има горна и долна граница на интегралите и се нарича определено, защото в края на проблема имаме число - това е категоричен отговор.

Неопределен интеграл

Неопределеният интеграл на f (x) е ФУНКЦИЯ и отговаря на въпроса „Каква функция, когато се диференцира, дава е (х)?"

С неопределен интеграл няма горна и долна граница на интеграла тук и това, което ще получим е отговор, който все още има хв него и също ще има константа (обикновено се обозначава с ° С) в него.

Индефинитният интеграл обикновено дава общо решение на диференциалното уравнение.

Индефинитетният интеграл е по-скоро обща форма на интеграция и може да се интерпретира като анти-производно на разглежданата функция.

Да предположим диференциация на функциите F води до друга функция е, и интегрирането на f дава интеграла. Символично това е написано като

F (х) = ∫ƒ (х) DX

или

F = ∫ƒ dx

където и двете F и ƒ са функции на х, и F е диференцируем. В горната форма той се нарича интеграл на Рейман и получената функция придружава произволна константа.

Неопределен интеграл често произвежда семейство от функции; следователно интегралът е неопределен.

Интегралите и интеграционният процес са в основата на решаването на диференциални уравнения. Въпреки това, за разлика от стъпките в диференциацията, стъпките в интеграцията не винаги следват ясна и стандартна рутина. Понякога виждаме, че решението не може да бъде изразено изрично по отношение на елементарна функция. В този случай аналитичното решение често се дава под формата на неопределен интеграл.

Основна теория за смятане

Определеният и неопределеният интеграл са свързани от фундаменталната теория на смятането, както следва: За да се изчисли определен интеграл, намери неопределен интеграл (известен също като анти-производно) на функцията и оценявайте в крайните точки х = а и х = б.

Разликата между определени и неопределени интеграли ще бъде очевидна, след като оценим интегралите за една и съща функция.

Помислете за следния интеграл:

ДОБРЕ. Нека направим и двете и да видим разликата.

За интеграция трябва да добавим един към индекса, който ни води до следния израз:

В този момент от време ° С е просто константа за нас. В задачата е необходима допълнителна информация, за да се определи точната стойност на ° С.

Нека оценим същия интеграл в неговата определена форма, т.е. с включени горна и долна граница.

Графично казано, сега изчисляваме зоната под кривата f (x) = y³ между у = 2 и у = 3.

Първата стъпка в тази оценка е същата като неограничената интегрална оценка. Единствената разлика е, че този път наоколо не добавяме константата ° С.

Изразът в този случай изглежда по следния начин:

Това от своя страна води до:

По същество заместихме 3 и след това 2 в израза и получихме разликата между тях.

Това е определената стойност за разлика от използването на константа ° С по-рано.

Нека да проучим по-подробно постоянния фактор (по отношение на неопределения интеграл).

Ако разликата на ш³ е 3y², тогава

∫3y²dy = y³

въпреки това, 3y² може да бъде разликата на много изрази, някои от които включват ш³-5, ш³+7, и т.н. ... Това означава, че обръщането не е уникално, тъй като константата не се отчита по време на операцията.

Така че като цяло, 3y² е разликата на ш³+° С където ° С е някаква константа. Между другото, C е известен като "константа на интеграция".

Пишем това като:

∫ 3y².dx = y³ + ° С

Техниките за интеграция за неопределен интеграл, като търсене в таблица или интеграция на Risch, могат да добавят нови прекъсвания по време на процеса на интеграция. Тези нови прекъсвания се появяват, защото анти-дериватите могат да изискват въвеждането на сложни логаритми.

Сложните логаритми имат прекъсване на скока, когато аргументът пресича отрицателната реална ос и алгоритмите за интегриране понякога не могат да намерят представяне, където тези скокове отменят.

Ако определеният интеграл бъде оценен чрез първо изчисляване на неопределен интеграл и след това заместване на границите на интеграция в резултата, трябва да сме наясно, че неопределената интеграция може да доведе до прекъсвания. Ако това стане така, ние трябва да проучим прекъсванията в интеграционния интервал.