Разлика между определените и неопределените интеграли

Определени срещу неопределени интеграли

Изчислението е важен отрасъл на математиката и диференциацията играе критична роля в смятането. Обратният процес на диференциацията е известен като интеграция, а обратният е известен като интеграл, или просто казано, обратната на диференциация дава интеграл. Въз основа на резултатите, които те произвеждат, интегралите се разделят на два класа; категорични и неопределени интеграли.

Повече за неопределените интеграли

Индефинитетният интеграл е по-скоро обща форма на интеграция и може да се интерпретира като анти-производно на разглежданата функция. Да предположим, че диференциацията на F дава f, а интегрирането на f дава интеграла. Често се пише като F (x) = ∫ƒ (x) dx или F = ∫ƒ dx, където и F, и ƒ са функции на x, а F е диференцируем. В горната форма той се нарича интеграл на Рейман и получената функция придружава произволна константа. Неопределен интеграл често произвежда семейство от функции; следователно интегралът е неопределен.

Интегралите и интеграционният процес са в основата на решаването на диференциални уравнения. Въпреки това, за разлика от диференциацията, интеграцията не следва винаги ясна и стандартна рутина; понякога решението не може да бъде изразено изрично по отношение на елементарна функция. В този случай аналитичното решение често се дава под формата на неопределен интеграл.

Повече за определените интеграли

Определените интеграли са много ценените аналози на неопределените интеграли, където процесът на интеграция всъщност произвежда ограничено число. Тя може да бъде определена графично като площта, ограничена от кривата на функцията ƒ в даден интервал. Всеки път, когато интегрирането се извършва в даден интервал от независимата променлива, интеграцията дава определена стойност, която често се записва като _а∫^бƒ (x) dx или _а∫^б ƒdx.

Неопределените интеграли и определените интеграли са свързани помежду си чрез първата фундаментална теорема на смятането и това позволява да се изчисли определеният интеграл с помощта на неопределените интеграли. Теоремата гласи _а∫^бƒ (x) dx = F (b) -F (a), където и F, и ƒ са функции на x, а F е различим в интервала (a, b). Като се има предвид интервалът, a и b са известни съответно като долната и горната граница.

Вместо да спира само с реални функции, интеграцията може да бъде разширена до сложни функции и тези интеграли се наричат ​​контурни интеграли, където ƒ е функция на сложната променлива.

Каква е разликата между определените и неопределените интеграли?

Индефинитните интеграли представляват анти-дериват на функция и често семейство от функции, а не определено решение. В определени интеграли интеграцията дава ограничено число.

Индефинитите интеграли свързват произволна променлива (оттук и семейството от функции), а определени интеграли нямат произволна константа, а горна граница и долна граница на интеграция.

Индефинитният интеграл обикновено дава общо решение на диференциалното уравнение.