Разлика между рационални и ирационални числа

Терминът „числа“ ни съзнава това, което обикновено се класифицира като положителни цели числа, по-големи от нула. Други класове числа включват цели числа и фракции, комплекс и реални числа и също отрицателни цели числа.

Разширявайки допълнително класификациите на числата, срещаме рационален и ирационален номера. Рационалното число е число, което може да бъде записано като дроб. С други думи, рационалното число може да бъде записано като съотношение на две числа.

Помислете например за числото 6. Може да се запише като съотношение на две числа, а именно. 6 и 1, водещи до съотношението 6/1. по същия начин, 2/3, което се пише като дроб, е рационално число.

По този начин можем да определим рационално число като число, написано под формата на дроб, при което числителят (числото отгоре) и знаменателят (числото отдолу) са цели числа. Следователно по дефиниция всяко цяло число е и рационално число.

Съотношение на две големи числа като (129367871)/(547724863) също би представлявал пример за рационално число по простата причина, че и числителят, и знаменателят са цели числа.

Обратно, всяко число, което не може да бъде изразено под формата на дроб или съотношение, се нарича нерационално. Най-често цитираният пример за ирационално число е √2 (1.414213…). Друг популярен пример за ирационално число е числовата константа π (3.141592 ... ).

Ирационалното число може да бъде записано като десетично, но не и като дроб. Ирационалните числа не се използват често в ежедневието, въпреки че съществуват в числовата линия. Между тях има безкраен брой ирационални числа 0 и 1 в числовия ред. Ирационалното число има безкрайни неповтарящи се цифри вдясно от десетичната запетая.

Обърнете внимание, че често цитираната стойност на 22/7 за константата π всъщност е само една от стойностите на π. По дефиниция обиколката на окръжност, разделена на два пъти по-голям от нейния радиус, е стойността на π. Това води до множество стойности на π, включително, но не само, 333/106, 355/113 и така нататък1.

Само квадратните корени на квадратните числа; т.е. квадратните корени на перфектни квадрати са рационални.

√1= 1 (Rational)

√2 (Нерационално)

√3 (Нерационално)

√4 = 2 (Rational)

√5, √6, √7, √8 (Нерационално)

√9 = 3 (Рационално) и т.н..

По-нататък, ние отбелязваме, че само нкорените на нсилите са рационални. По този начин 6-ти корен на 64 е рационално, защото 64 е 6-ти мощност, а именно 6-ти силата на 2. Но на 6-ти корен на 63 е ирационален. 63 не е съвършен 6тата мощност.

Неминуемо десетичното представяне на ирационалните влиза в картина и дава някои интересни резултати.

Когато изразяваме a рационален число като десетична, тогава или десетичната ще бъде точен (както в 1/5= 0.20) или ще бъде неточен (както в, 1/3 ≈ 0.3333). И в двата случая ще има предсказуем модел на цифрите. Имайте предвид, че когато ирационален числото се изразява като десетична, тогава ясно ще е неточно, защото в противен случай числото би било рационално.

Освен това няма да има предсказуем модел на цифрите. Например,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Сега, с рационални числа, понякога се сблъскваме 1/11 = 0,0909090.

Използването на двата знака за равенство (=) и три точки (елипса) предполага, че въпреки това не е възможно да се изрази 1/11 точно като десетична, все още можем да я приближим до толкова десетични цифри, колкото е позволено да се доближим 1/11.

По този начин, десетичната форма на 1/11 се смята за неточно. По същия начин, десетичната форма на  ¼ което е 0,25, е точно.

Стигайки до десетичната форма за ирационални числа, те ще бъдат винаги неточни. Продължавайки с примера на √2, когато пишем √2 = 1,41421356237… (Обърнете внимание на използването на елипса), това веднага предполага, че няма десетичен знак за √2 ще бъде точен. Освен това няма да има предсказуем модел на цифрите. Използвайки понятия от числови методи, отново можем рационално да се приближим до толкова десетични цифри до такава степен, че да сме близо до √2.

Всяка бележка за рационални и ирационални числа не може да завърши без задължителното доказателство защо √2 е ирационален. По този начин ние също изясняваме, класическият пример за a доказателство от продължradiction.

Да предположим, че √2 е рационален. Това ни кара да го представим като съотношение на две цели числа, да речем р и р.

√2 = p / q

излишно да се каже, р и р няма общи фактори, защото ако имаше общи фактори, щяхме да ги отменим от числителя и знаменателя.

Сквалираме и двете страни на уравнението, завършваме с,

2 = p2 / q2

Това може да бъде написано удобно като,

р2 = 2q2

Последното уравнение подсказва това р2 е равномерно. Това е възможно само ако р самата тя е равномерна. Това от своя страна предполага това р2 се дели на 4. следователно, р2 и вследствие на това р трябва да е равномерно. Така р и р са и двете, което е в противоречие с първоначалното ни предположение, че нямат общи фактори. Поради това, √2 не може да бъде рационален. Q.E.D.