Разлика между аритметични и геометрични серии

Аритметика срещу геометрични серии
 

Математическото определение на серия е тясно свързано с поредиците. Поредицата е подреден набор от числа и може да бъде краен или безкраен набор. Поредица от числа с разлика между два елемента като постоянна е известна като аритметична прогресия. Поредица с постоянен коефициент от две последователни числа е известна като геометрична прогресия. Тези прогресии могат да бъдат или крайни, или безкрайни, и ако са ограничени, броят на термините е счетлив, иначе неизброим.

Като цяло, сумата от елементите в прогресия може да бъде определена като поредица. Сумата от аритметичната прогресия е известна като аритметична серия. По същия начин сумата от геометрична прогресия е известна като геометрична серия.

Повече за аритметичните серии

В аритметични серии последователните термини имат постоянна разлика.

С_н = a₁ + а₂ + а₃ + а₄ +⋯ + a_н = ∑^н_{I = 1} а_аз ; къде₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + г и т.н..

Тази разлика d е известна като общата разлика, а n^тата терминът е даден от a_н = a₁+ (П-1) г; къде₁ е първият мандат.

Поведението на серията се променя въз основа на общата разлика d. Ако общата разлика е положителна, прогресията има тенденция към положителна безкрайност, а ако общата разлика е отрицателна, тя се стреми към отрицателната безкрайност.

Сумата от поредицата може да се получи по следната проста формула, която е разработена за първи път от индийския астроном и математик Арябхата.

С_н = n / 2 (a₁+ а_н ) = n / 2 [2a₁ + (П-1) г]

Сумата S_н може да бъде краен или безкраен, въз основа на броя на термините.

Повече за Geometric Series

Геометрична поредица е серия с коефициент на постоянната последователни числа. Това е Важна серия, открита при изследването на серията, заради свойствата, които притежава.

С_н = ar + ar² + ар³ +⋯ + ар^н = ∑^н_{I = 1} ар^аз

Въз основа на съотношението r поведението на серията може да бъде категоризирано както следва. r = | r | ≥1 серия се различава; r≤1 серия се сближава. Също така, ако r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Сумата от геометричните серии може да бъде изчислена по следната формула. С_н = a (1-r^н) / (1-r); където a е началният член и r е съотношението. Ако съотношението r≤1, серията се сближи. За безкрайни серии стойността на конвергенцията се дава от S_н= a / (1-r).

Геометричните серии имат многобройни приложения в областта на физическите науки, инженерството и икономиката

Каква е разликата между аритметичните и геометричните серии?

• Аритметичната серия е серия с постоянна разлика между два съседни члена.

• Геометричната серия е серия с постоянен коефициент между два последователни члена.

• Всички безкрайни аритметични серии винаги се разминават, но в зависимост от съотношението, геометричните серии могат да бъдат или конвергентни, или разминаващи се.

• Геометричните серии могат да имат колебания в стойностите; това означава, че числата променят знаците си алтернативно, но аритметичната серия не може да има трептения.