Разлика между производни и диференциали

Производно срещу диференциал
 

В диференциалното смятане производното и диференциалът на дадена функция са тясно свързани, но имат много различни значения и се използват за представяне на два важни математически обекта, свързани с диференцируеми функции.

Какво е производно?

Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя, тъй като входът се променя. В многопроменливите функции промяната на стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича насочена производна. Частичните производни са специален вид деривати на посоката.

Производно от функция с векторно значение е може да се определи като граница където и да съществува окончателно. Както споменахме по-горе, това ни дава скоростта на увеличение на функцията е по посоката на вектора ф. В случай на еднозначна функция, това се свежда до добре познатото определение на производната,  

Например, е навсякъде диференцируема, а производната е равна на границата, , което е равно на . Производните на функции като   съществуват навсякъде. Те съответно са равни на функциите .                                                                                

Това е известно като първото производно. Обикновено първата производна на функцията е се обозначава с е ⁽¹⁾. Използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок ред. е направена производна от втори ред и обозначаваща н^тата производно от е ^(н) за всеки н, ,  определя н^тата дериват.

Какво е диференциално?

Диференциалът на функция представлява промяната на функцията по отношение на промените в независимата променлива или променливи. В обичайната нотация, за дадена функция е на една променлива х, общият диференциал на ред 1 df е дадена от, . Това означава, че за безкрайно малка промяна в х(т.е. dх), ще има a  е ⁽¹⁾(х)дх промяна в е.

Използването на ограничения може да завърши с това определение, както следва. Да приемем ∆х е промяната в х в произволна точка х и ∆е е съответната промяна във функцията е. Може да се покаже, че ∆f = f ⁽¹⁾(х) Δх+ ε, където ϵ е грешката. Сега, границата ∆х →0^Δе/_Δх= е ⁽¹⁾(х) (използвайки горепосоченото определение на производна) и по този начин ∆х →0^ε/_Δх= 0. Следователно е възможно да се заключи, че ∆х →0ε = 0. Сега, обозначавайки ∆х →0 ∆е като ге и ∆х →0 ∆х като гх определението на диференциала се получава строго. 

Например диференциалът на функцията е .

В случай на функции на две или повече променливи, общият диференциал на функция се дефинира като сумата от диференциали в посоките на всяка от независимите променливи. Математически може да се заяви като .