Разлика между производни и интеграли

Производно срещу интеграл

Диференциацията и интеграцията са две основни операции в смятането. Те имат многобройни приложения в няколко области, като математика, инженерство и физика. И производното, и интегралното обсъждат поведението на функция или поведение на физическо образувание, което ни интересува.

Какво е производно?

Да предположим, че y = ƒ (x) и x₀ е в областта на ƒ. Тогава лим_{Δx → ∞}Δy / Δx = lim_{Δх → ∞}[ƒ (х₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx се нарича моментална скорост на промяна на of при x₀, при условие, че това ограничение съществува окончателно. Тази граница се нарича производна на при и се обозначава с ƒ (x).

Стойността на производната на функция е в произволна точка х в областта на функцията се дава от lim_{Δх → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Това се обозначава с някой от следните изрази: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_хш.

За функции с няколко променливи дефинираме частична производна. Частичната производна на функция с няколко променливи е нейната производна по отношение на една от тези променливи, като се приема, че другите променливи са константи. Символът на частичната производна е ∂.

Геометрично производната на функция може да се интерпретира като наклона на кривата на функцията ƒ (x).

Какво е интеграл?

Интеграцията или антидиференциацията е обратният процес на диференциация. С други думи, това е процесът на намиране на оригинална функция, когато е дадена производната на функцията. Следователно, интеграл или анти-производна на функция ƒ (x), ако, ƒ (x) =F(x) може да бъде определена като функция F(x), за всички x в областта на ƒ (x).

Изразът ∫ƒ (x) dx обозначава производната на функция ƒ (x). Ако ƒ (x) =F(x), тогава ∫ƒ (x) dx = F(x) + C, където C е константа, ∫ƒ (x) dx се нарича неопределен интеграл на ƒ (x).

За всяка функция ƒ, която не е непременно неотрицателна и е определена на интервала [a, b], _а∫^бƒ (x) dx се нарича определения интеграл ƒ на [a, b].

Определеният интеграл _а∫^бƒ (x) dx на функция ƒ (x) може да се интерпретира геометрично като площта на областта, ограничена от кривата ƒ (x), x-оста и линиите x = a и x = b.