Разлика между диференциация и производна

Диференциация срещу производни
 

При диференциалното смятане производното и диференциацията са тясно свързани, но много различни и се използват за представяне на две важни математически понятия, свързани с функциите.

Какво е производно?

Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя, тъй като входът се променя. В многопроменливите функции промяната на стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича насочена производна. Частичните производни са специален вид деривати на посоката.

Производно от функция с векторно значение е може да се определи като граница където и да съществува окончателно. Както споменахме по-горе, това ни дава скоростта на увеличение на функцията е по посоката на вектора ф. В случай на еднозначна функция, това се свежда до добре познатото определение на производната,  

Например, е навсякъде диференцируема, а производната е равна на границата, , което е равно на . Производните на функции като   съществуват навсякъде. Те съответно са равни на функциите .                                                                                

Това е известно като първото производно. Обикновено първата производна на функцията е се обозначава с е ⁽¹⁾. Използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок ред. е направена производна от втори ред и обозначаваща н^тата производно от е ^(н) за всеки н, ,  определя н^тата дериват.

Какво е диференциация?

Диференциацията е процесът на намиране на производната на диференцируема функция. D-оператор, обозначен с д представлява диференциация в някои контексти. ако х е независимата променлива D ≡ ^д/_DX. D-операторът е линеен оператор, т.е. за всяка две различаващи се функции е и г и постоянен ° С, следните свойства са в сила.

аз.  д(е + ж) = д(е) + D (ж)

II.  д(CF) = CD(е )

Използвайки D-оператора, другите правила, свързани с диференциацията, могат да бъдат изразени по следния начин. д(е ж) = д(е ) г +е D(Ж) , д(^е/_г) = ^{[д(е ) г - е D(Г)]}/_г² и д(е  о г) = (д(е) о г) Д(г).

Например, когато F (х) = х²грях х се диференцира по отношение на х използвайки дадените правила, отговорът ще бъде 2хгрях х -+ х²косинусх.