Разлика между интеграция и обобщение

Интеграция срещу сумиране
 

В горната гимназиална математика интеграцията и сумирането често се срещат в математическите операции. На пръв поглед те се използват като различни инструменти и в различни ситуации, но споделят много близки отношения.

Повече за сумирането

Обобщаването е операцията на добавяне на поредица от числа и операцията често се обозначава с гръцката буква на буквата сигма Σ. Той се използва за съкращаване на сумирането и равен на сумата / общия брой на последователността. Те често се използват за представяне на сериите, които по същество са безкрайни последователности, обобщени. Те могат също да бъдат използвани за обозначаване на сумата от вектори, матрици или полиноми.

Сумирането обикновено се прави за диапазон от стойности, които могат да бъдат представени с общ термин, като например серия, която има общ термин. Началната и крайната точка на сумирането са известни съответно като долната граница и горната граница на сумирането.

Например сумата от последователността a₁, а₂, а₃, а₄, ..., a_н е₁ + а₂ + а₃ +… + A_н които могат лесно да бъдат представени с помощта на обобщаващата нотация като ∑^н_{I = 1} а_аз; i се нарича индекс на сумиране.

Много вариации се използват за сумирането въз основа на приложението. В някои случаи горната и долната граница могат да бъдат дадени като интервал или диапазон, като ∑_1≤i≤100 а_аз и ∑_{i∈ [1100]} а_аз. Или може да се даде като набор от числа като ∑_i∈P а_аз , където P е определен набор.

В някои случаи могат да се използват два или повече сигма знака, но те могат да бъдат обобщени по следния начин; Σ_к Σ_к а_ж.к. = ∑_{J, K} а_ж.к..

Също така сумирането следва много алгебрични правила. Тъй като вградената операция е допълнение, много от общите правила на алгебрата могат да бъдат приложени към самите суми и за отделните термини, изобразени от сумирането.

Повече за интеграцията

Интеграцията се определя като обратен процес на диференциация. Но в своя геометричен изглед може да се разглежда и като област, затворена от кривата на функцията и оста. Следователно, изчисляването на площта дава стойността на определен интеграл, както е показано на диаграмата.

Източник на изображения: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Стойността на определения интеграл всъщност е сумата от малките ивици вътре в кривата и оста. Площта на всяка лента е височината × ширина в точката на разглежданата ос. Ширината е стойност, която можем да изберем, да кажем ∆x. А височината е приблизително стойността на функцията в разглежданата точка, да речем е(х_аз). От диаграмата е видно, че колкото по-малки са лентите, толкова по-добре са лентите да се поберат вътре в ограничената зона, следователно и по-добро приближение на стойността.

Така че, като цяло определеният интеграл аз, между точките a и b (т.е. в интервала [a, b], където aаз ≅ е(х₁) Δx + е(х₂) ∆x + ⋯ + е(х_н) ∆x, където n е броят на лентите (n = (b-a) / ∆x). Това сумиране на областта може лесно да бъде представено като се използва обобщението за сумиране като аз ≅ ∑^н_{I = 1} е(х_аз) Δx. Тъй като приближението е по-добро, когато ∆x е по-малко, можем да изчислим стойността, когато ∆x → 0. Затова е разумно да се каже аз = lim_{Δx → 0} Σ^н_{I = 1} е(х_аз) Δx.

Като обобщение от горната концепция можем да изберем ∆x въз основа на разглеждания интервал, индексиран от i (избирайки ширината на зоната въз основа на позицията). Тогава ставаме

аз= Лим_{Δx → 0} Σ^н_{I = 1} е(х_аз) ∆x_аз = _а∫^б е(Х) DX

Това е известно като интеграла на Реймана на функцията е(x) в интервала [a, b]. В този случай a и b са известни като горната граница и долната граница на интеграла. Интегралът на Reimann е основна форма на всички методи за интеграция.

По същество интеграцията е сумирането на областта, когато ширината на правоъгълника е безкрайно малка.

Каква е разликата между интеграция и обобщение?

• Сумирането е сумиране на поредица от числа. Обикновено сумирането се дава в тази форма ∑^н_{I = 1} а_аз когато термините в последователността имат шаблон и могат да бъдат изразени с използване на общ термин.

• Интеграцията е основно областта, ограничена от кривата на функцията, оста и горната и долната граница. Тази площ може да бъде дадена като сума от много по-малки площи, включени в ограничената зона.

• Сумирането включва дискретни стойности с горната и долната граница, докато интегрирането включва непрекъснати стойности.

• Интеграцията може да се интерпретира като специална форма на сумиране.

• В методите за числено изчисление интегрирането винаги се извършва като сумиране.