Разлика между трансформите на Лаплас и Фурие

Лаплас срещу Фурие трансформира
 

Преобразуването на Лаплас и преобразуването на Фурие са интегрални трансформации, които най-често се използват като математически методи за решаване на математически моделирани физически системи. Процесът е прост. Сложният математически модел се превръща в по-прост, разрешим модел, използвайки интегрално преобразуване. След като се разреши по-простият модел, се прилага обратната интегрална трансформация, която би осигурила решението на оригиналния модел.

Например, тъй като повечето от физическите системи водят до диференциални уравнения, те могат да бъдат преобразувани в алгебраични уравнения или в по-ниска степен лесно разтворими диференциални уравнения с помощта на интегрално преобразуване. Тогава решаването на проблема ще стане по-лесно.

Какво е трансформацията на Лаплас?

Дадена функция е (T) на реална променлива T, неговата трансформация на Лаплас се определя от интеграла (винаги, когато съществува), което е функция на сложна променлива с. Обикновено се обозначава с L е (T). Обратното преобразуване на Лаплас на функция F(с) се приема като функция е (T) по такъв начин, че L е (T) = F(с), и в обичайната математическа нотация, която пишем, L ^-1F(с) = е (T).Обратното преобразуване може да бъде уникално, ако нулевите функции не са разрешени. Човек може да идентифицира тези двама като линейни оператори, дефинирани във функционалното пространство, и също е лесно да се види това, L ^-1L е (T) = е (T), ако нулевите функции не са разрешени.

Следващата таблица изброява преобразуванията на Лаплас на някои от най-често срещаните функции.

Какво е преобразуването на Фурие?

Дадена функция е (T) на реална променлива T, неговата трансформация на Лаплас се определя от интеграла (винаги когато съществува) и обикновено се обозначава с F е (T). Обратното преобразуване F ^-1F(α) се дава от интеграла . Трансформацията на Фурие също е линейна и може да се мисли като оператор, дефиниран във функционалното пространство.

Използвайки преобразуването на Фурие, оригиналната функция може да бъде записана по следния начин, при условие че функцията има само ограничен брой прекъсвания и е абсолютно интегрирана.

Каква е разликата между трансформите на Лаплас и Фурие?

• Преобразуване на Фурие на функция е (T) се дефинира като , като има предвид, че преобразуването на Лаплас е определено като .
• Преобразуването на Фурие се дефинира само за функции, дефинирани за всички реални числа, докато преобразуването на Лаплас не изисква функцията да бъде дефинирана при задаване на отрицателните реални числа.
• Преобразуването на Фурие е специален случай на трансформацията на Лаплас. Вижда се, че и двете съвпадат за неотрицателни реални числа. (т.е. да вземем с в Лаплас да бъде iα + β където α и β са истински такива д ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Всяка функция, която има преобразуване на Фурие, ще има преобразуване на Лаплас, но не и обратното.