Разлика между асоциативно и комутативно

Асоциативно срещу коммутативно
 

В ежедневния си живот ние трябва да използваме числа винаги, когато трябва да получим мярка за нещо. В магазина за хранителни стоки, на бензиностанцията и дори в кухнята трябва да добавим, изваждаме и умножаваме две или повече количества. От нашата практика ние извършваме тези изчисления доста лесно. Никога не забелязваме или поставяме под въпрос защо правим тези операции по този конкретен начин. Или защо тези изчисления не могат да се правят по различен начин. Отговорът е скрит в начина, по който тези операции са определени в математическото поле на алгебрата.

В алгебрата операция, включваща две количества (като добавяне) се определя като двоична операция. По-точно това е операция между два елемента от набор и тези елементи се наричат ​​„операнд“. Много операции в математиката, включително споменатите по-рано аритметични операции и тези, срещани в теорията на множествата, линейна алгебра и математическа логика, могат да бъдат определени като двоични операции.

Съществува набор от управляващи правила, отнасящи се до конкретна бинарна операция. Асоциативните и комутативните свойства са две основни свойства на бинарните операции.

Повече за Commutative Property

Да предположим, че някаква двоична операция, обозначена със символа ⊗, се извършва върху елементите А и B. Ако редът на операндите не влияе на резултата от операцията, тогава се казва, че операцията е комутативна. т.е. ако А ⊗ B = B ⊗ А тогава операцията е комутативна.

Добавянето и умножението на аритметични операции са комутативни. Редът на числата, добавени заедно или умножени заедно, не засяга окончателния отговор:

А + B = B + А     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

А × B = B × А     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Но в случай на разделяне промяната в реда дава реципрочност на другия, а при изваждане промяната дава отрицанието на другия. Следователно,

А - B ≠ B - А     ⇒ 4 - 5 = -1 и 5 - 4 = 1

А ÷ B ≠ B ÷ А     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 и 5 ÷ 4 = 1,25 [в този случай А,B And 1 и 0]

В действителност се казва, че изваждането е антикомутативно; където А - B = - (B - А).

Също така, логическите съединители, съединението, дисюнкцията, импликацията и еквивалентността също са комутативни. Функциите на истината също са комутативни. Създаденият операционен съюз и пресичане са комутативни. Добавянето и скаларният продукт на векторите също са комутативни.

Но векторното изваждане и векторният продукт не са комутативни (векторният продукт от два вектора е антикомутативен). Матричното добавяне е комутативно, но умножението и изваждането не са комутативни. (Умножението на две матрици може да бъде комутативно в специални случаи, като умножение на матрица с нейната обратна или матрица за идентичност; но определено матриците не са комутативни, ако матриците не са с еднакъв размер)

Повече за асоциативната собственост

Бинарната операция се казва, че е асоциативна, ако редът на изпълнение не влияе на резултата, когато са налице две или повече събития на оператора. Помислете за елементите A, B и ° С и двоичната операция ⊗. Казва се, че операцията associ е асоциативна, ако

А ⊗ B ⊗ ° С = А ⊗ (B ⊗ ° С) = (А ⊗ B) ⊗ ° С

От основните аритметични функции само добавянето и умножението са асоциативни.

А + (B + ° С) = (А + B) + ° С     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

А × (B × ° С) = (А × B) × ° С     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Изваждането и делението не са асоциативни;

А - (B - ° С) ≠ (А - B) - ° С     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 и (5 - 4) - 3 = -2

А ÷ (B ÷ ° С) ≠ (А ÷ B) ÷ ° С     4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 и (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Логиката на разделянето, свързването и еквивалентността на логическите съединители са асоциативни, както и обединените и пресичащите операции зададени операции. Матрицата и векторното добавяне са асоциативни. Скаларният продукт на векторите е асоциативен, но векторният продукт не е. Матричното умножение е асоциативно само при специални обстоятелства.

Каква е разликата между коммутативна и асоциативна собственост?

• И асоциативното свойство, и комутативното свойство са специални свойства на бинарните операции, а някои ги удовлетворяват, а някои не.

• Тези свойства могат да се видят в много форми на алгебрични операции и други двоични операции в математиката, като пресичане и обединение в теорията на множествата или логическите съединители.

• Разликата между комутативна и асоциативна е, че комутативната собственост гласи, че редът на елементите не променя крайния резултат, докато асоциативната собственост заявява, че редът, в който се извършва операцията, не засяга крайния отговор.