Разлика между случайни променливи и разпределение на вероятностите

Случайни променливи срещу вероятностно разпределение

Статистическите експерименти са произволни експерименти, които могат да се повтарят за неопределено време с известен набор от резултати. Както случайните променливи, така и разпределението на вероятностите са свързани с такива експерименти. За всяка произволна променлива има свързано разпределение на вероятността, определено от функция, наречена функция на кумулативно разпределение.

Какво е произволна променлива?

Случайна променлива е функция, която присвоява числови стойности на резултатите от статистически експеримент. С други думи, това е функция, дефинирана от извадковото пространство на статистически експеримент в множеството реални числа.

Например, помислете за случаен експеримент да обърнете монета два пъти. Възможните резултати са HH, HT, TH и TT (H - глави, T - приказки). Нека променливата X е броят глави, наблюдавани в експеримента. Тогава X може да приеме стойностите 0, 1 или 2 и това е произволна променлива. Тук случайната променлива X ще преобразува множеството S = HH, HT, TH, TT (пространството на извадката) в множеството 0, 1, 2 по такъв начин, че HH се преобразува на 2, HT и TH са картографирани на 1 и TT е картографирано на 0. Във функция нотация, това може да бъде написано като, X: S → R, където X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 и X ( TT) = 0.

Има два типа случайни променливи: дискретна и непрекъсната, съответно броят на възможните стойности, за които случайната променлива може да приеме, че е най-много счет или не. В предишния пример случайната променлива X е дискретна случайна променлива, тъй като 0, 1, 2 е ограничен набор. Сега, помислете за статистическия експеримент за намиране на теглата на учениците в клас. Нека Y е произволната променлива, определена като тежест на ученик. Y може да вземе всяка реална стойност в рамките на определен интервал. Следователно, Y е непрекъсната случайна променлива.

Какво е разпределение на вероятността?

Разпределението на вероятностите е функция, която описва вероятността случайна променлива да приема определени стойности.

Функция, наречена функция на кумулативно разпределение (F), може да бъде определена от множеството реални числа към множеството реални числа като F (x) = P (X ≤ x) (вероятността X е по-малка или равна на x) за всеки възможен резултат x. Сега кумулативната функция на разпределение на X в първия пример може да бъде записана като F (a) = 0, ако a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

В случай на дискретни случайни променливи, функция може да бъде определена от множеството възможни резултати към множеството реални числа по такъв начин, че ƒ (x) = P (X = x) (вероятността X е равна на x) за всеки възможен резултат x. Тази конкретна функция ƒ се нарича функция на вероятностната маса на случайната променлива X. Сега функцията на вероятностната маса на X в първия конкретен пример може да се запише като ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, и ƒ (x) = 0 в противен случай. По този начин функцията на вероятностната маса заедно с функцията за кумулативно разпределение ще опише разпределението на вероятността на X в първия пример.

В случай на непрекъснати случайни променливи, функция, наречена функция на плътността на вероятностите (ƒ), може да бъде определена като ƒ (x) = dF (x) / dx за всеки x, където F е функцията на кумулативно разпределение на непрекъснатата случайна променлива. Лесно е да се види, че тази функция удовлетворява ∫ƒ (x) dx = 1. Функцията на плътността на вероятностите заедно с функцията за кумулативно разпределение описва разпределението на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Например, нормалното разпределение (което е непрекъснато разпределение на вероятността) се описва с помощта на функцията на плътност на вероятностите ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).